問題
（１）ショートケーキ、モンブラン、チョコレートの３種類のケーキがたくさんある。
ここから６個購入するときの選び方の組み合わせは何通りあるか。
但し、各ケーキ最低１個は選ぶものとする。
（２）赤、白、黄のチョークがたくさんある。ここから５本を選ぶ場合の色の組み合わせは何通りあるか。
解答
（１）
５！ / (３！・ ２！) ＝ １０ （通り）
各ケーキ最低１個は選ぶので、
シ，モ，チ，〇，〇，〇
つまり、３種類から残りの３個を選ぶ重複組み合わせなので、しきり棒を置くと次のような分け方ができる。
〇 ｜ 〇 ｜ 〇
〇 〇 ｜ 〇 ｜
〇 〇 〇 ｜ ｜
５！ / (３！・ ２！) ＝ １０ （通り）
（１）の〔別解〕 公式を使うパターン
重複組み合わせの公式
ｎ種類からｍ個を取り出すとき、
ｎ＋ｍ－１Ｃｍ （通り）
各ケーキ最低１個は選ぶので、
シ，モ，チ，〇，〇，〇
つまり、３種類から残りの３個を選ぶ重複組み合わせなので、公式より
３＋３－１Ｃ３
＝ ５Ｃ３
＝ ５Ｃ２
＝ １０通り
＝ ５Ｃ３
＝ ５Ｃ２
＝ １０通り
（２）
種類分けするために、しきり棒を置くと
〇 〇 ｜ 〇 〇 ｜ 〇
※3種類に分ける場合もあれば、2種類、1種類のときも考えられる。上図は、3種類に分けるように見えるが、これらを並べ換えるので、仕切り棒の位置によって2種類や1種類になる。
例えば、
〇 〇 〇 〇 〇 ｜ ｜
７！ / (５！・ ２！) ＝ ２１通り
〔別解〕公式を使う解法
３種類から５本を選ぶ重複組み合わせなので、公式より、
３＋５－１Ｃ５
＝ ７Ｃ５
＝ ７Ｃ２
＝ ２１通り
A．（１）10通り （２）21通り
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